Скажите пожалуйста, если журналы входящей и исходящей документации не закончены, можно ли с нового года завести новые? И необходимо ли их прошивать?

Можно начать новый журнал, можно продолжать регистрацию в старом журнале, но с первого номера с начала календарного года. Обычные регистрационные журналы прошивать не надо. В некоторых организациях есть требование по прошивке журналов регистрации документов с грифом «ДСП».